Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHB\) cùng vuông tại H, ta có:

BH là cạnh góc vuông của và

\(\widehat {ABH} = \widehat {CBH}\)( Do cùng bằng \({90^o} - \widehat {HAB} = {90^o} - \widehat {HCB}\) )

\( \Rightarrow \) \(\Delta AHB = \Delta CHB\)

\( \Rightarrow \) BA = BC

a) Xét 2 tam giác vuông BAM và CAN có:

\(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}(=90^0)\)

AB=AC (Do tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat B = \widehat C\) (Do tam giác ABC cân tại A)

=>\(\Delta BAM = \Delta CAN\)(g.c.g)

b) Cách 1: 

Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \) có:

\(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}\).

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

\(\widehat {B} + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow {30^o} + {90^o} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMC} = {180^o} - \widehat {AMB} = {180^o} - {60^o} = {120^o}\)

Xét tam giác MAC có:

\(\begin{array}{l}\widehat {AMC} + \widehat {MAC} + \widehat C = {180^o}\\ \Rightarrow {120^o} + \widehat {MAC} + {30^o} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {MAC} = {30^o} = \widehat C\end{array}\)

\(\Rightarrow \) Tam giác AMC cân tại M.

Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\)

=> BM=CN ( 2 cạnh tương ứng)

=> BM+MN=CN+NM

=> BN=CM

Xét 2 tam giác ANB và AMC có:

AB=AC (cmt)

\(AN = AM\)(do \(\Delta BAM = \Delta CAN\))

BN=MC (cmt)

=>\(\Delta ANB = \Delta AMC\)(c.c.c)

Mà tam giác AMC cân tại M.

=> Tam giác ANB cân tại N.

Cách 2: 

Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \) có:

\(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}\).

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

\(\widehat B + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow {30^o} + {90^o} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^o}\)

Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\) nên AM = AN (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta AMN\) đều (Tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ)

=> \(\widehat {NAM}=60^0\)

Ta có: \(\widehat{BAN}+\widehat{NAM}=\widehat{BAM}\)

=> \(\widehat{BAN} + 60^0=90^0\)

=> \(\widehat{BAN}=30^0\)

Xét tam giác ABN có \(\widehat{BAN}=\widehat{ABN}(=30^0\) nên \(\Delta ABN\) cân tại N.

Ta có: \(\widehat{CAM}+\widehat{NAM}=\widehat{CAN}\)

=> \(\widehat{CAM} + 60^0=90^0\)

=> \(\widehat{CAM}=30^0\)

Xét tam giác ACM có \(\widehat{CAM}=\widehat{ACM}(=30^0\) nên \(\Delta ACM\) cân tại M.

Câu 1:

Xét tam giác AMB và tam giác AMC ta có:

        AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

        ABM = ACM (tam giác ABC cân tại A)

=> Tam giác AMB = tam giác AMC (ch-gn) (dpcm)

Câu 2:

a) Ta có: +) AK+KB = AB => KB = AB-AK

               +) AH+HC = AC => HC = AC-AH

Mà AB=AC(tam giác ABC cân tại A) ; AK=AH (gt)

=>KB=HC

Xét tam giác BHC và tam giác CKB ta có:

          HC=KB (cmt)

          HCB=KBC (tam giác ABC cân tại A)

          BC là cạnh chung

=>tam giác BHC = tam giác CKB (c.g.c)

=>BH=CK (2 cạnh tương ứng)     (dpcm)

Xét tam giác ABH và tam giác ACK ta có:

        AB=AC (tam giác ABC cân tại A)

        BH=CK (cmt)

        AH=AK (gt)

=> tam giác ABH = tam giác ACK (c.c.c)

=> ABH = ACK (2 góc tương ứng) (dpcm)

b) Theo a) tam giác BHC= tam giác CKB

=> HBC=KCB (2 góc tương ứng) hay OBC=OCB

=> Tam giác OBC là tam giác cân tại O (dpcm)

c) Theo b tam giác OBC cân tại O => OB=OC

    Theo a góc ABH = góc ACK => KBO= HCO

Xét tam giác OKB và tam giác OHC ta có:

      KB=HC (theo a)

      KBO=HCO (cmt)

      OB=OC (cmt)

=> tam giác OKB = tam giác OHC (c.g.c)

=> OK = OH (2 cạnh tương ứng) hay tam giác OKH là tam giác cân tại O (dpcm)

d) Gọi giao điểm của AO và KH là I

Xét tam giác AKO và tam giác AHO ta có:

        AK=AH (gt)

        AO là cạnh chung

        OK=OH (theo c)

=> tam giác AKO = tam giác AHO (c.c.c)

=> KAO = HAO (2 góc tương ứng)   hay KAI=HAI

Xét tam giác KAI và tam giác HAI ta có:

          AK=AH (gt)

          KAI=HAI (cmt)

          AI là cạnh chung

=> tam giác KAI = tam giác HAI ( c.g.c)

=> KI=HI ,   mà I nằm giữa H và K

=> I là trung điểm của KH hay

AO đi qua trung điểm của KH (dpcm)

Cả hai bài bạn tự kẻ hình nha.

AD/DB=AM/MB

AE/EC=AM/MC

mà MB=MC

nên AD/DB=AE/EC

=>DE//BC

Để DE là đừog trung bình của ΔABC thì AD/DB=AE/EC=1

=>AM/MB=AM/MC=1

=>ΔABC vuông tại A

Xét tg BDK,có:

BD=BC(gt)

DE=CE(theo phần a)

DK=CK(gt)

=>B,E,K thẳng hàng

và BK là đưòng trung trực của tg BDK

mà \(K\in DC\)

=>BK \(\perp\)DC hay \(KE\perp DC\)

hay EK 

a) C/M ΔAMB=ΔAMC

Ta có ∠BAM=∠MAC (gt)

AB=AC (gt)

∠ABM=∠ACM (ΔABC cân)

Vậy ΔAMB=ΔAMC (g-c-g)

b) C/M M trung điểm BC

Vì ΔABC cân tại A (do AB=AC:gt)

Có AM là đường cao

Nên AM cũng là trung tuyến

Vậy M trung điểm BC